Question

已知函数
（1） 判断函数的奇偶性；
（2） 证明函数f（x）在[-1，0]为增函数，并判断它在[0，1]上的单调性；
（3） 求f（x）的最大值．

Answer

这道题考查的是函数最基本的性质，第一问是奇偶性的考查，首先应看定义域是否关于原点对称再用定义判断，第二问是单调性的证明及判断，直接套用单调性的定义及一的结论即可，第三问是在第二问的基础上出的，用第二问的结论即可
【解析】
（1）由1-x2≥0，得，即函数的定义域为x|-1≤x≤1，关于原点对称．
又，则=f（x）
所以函数是偶函数．
（2）设-1≤x1＜x2≤0，则f（x1）-f（x2）=
=
===
因为-1≤x1＜x2≤0，所以x2-x1＞0，x2+x1＜0，＞0
所以＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在[-1，0]上是增函数．
同理可得：函数f（x）在[0，1]上是减函数．
（3）因为函数f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x=0时f（x）可取最大值，
即ymax=f（0）=1