Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）令g（x）=a^x-b^x，求g（x）在[1，3]上的最小值．

Answer

（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中求得a、b的值即可；
（2）令函数为零求出x的值即可；
（3）求出g（x），利用换元法求得最小值即可．
【解析】
（1）由已知，得，
∴，
解得
（2）由（1）知f（x）=，
令f（x）==0，
则4x-2x=0即（2x）2-2x-1=0，2x=，又因为2x＞0，
所以，
故x=所以函数f（x）的零点是．
（3）由（1）知g（x）=4x-2x=（2x）2-2x，令t=2x，
∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]，
显然函数y=t2-t=（t-）2-在[2，8]上是单调递增函数，
所以当t=2时，取得最小值2，
即函数g（x）在[1，3]上的最小值是2．