Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在[1，+∞）上是增函数，不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先求出函数的定义域，把a代入到函数中并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内讨论导函数的正负得到函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其导函数大于0即函数单调，可设φ（x）=-2x2，求出其导函数在[1，+∞）上单调递减，求出φ（x）的最大值，列出不等数求出解集即为a的取值范围．
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-2时，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）；
单调递增区间是（1，+∞）．
极小值是f（1）=1；

（Ⅱ）由
又函数上单调增函数，
则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式上恒成立
也即在[1，+∞）上恒成立
又在[1，+∞）为减函数，
所以φ（x）max=φ（1）=0．
所以a≥0．a的取值范围为[0，+∞）．