Question

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m均有|b_n-b_m|＜．

Answer

（1）要证明数列{}为等差数列，我们可以根据an+1=，判断的值，是否是一个常数；
（2）由（1）的结论，我们易给出数列{an}的通项公式，然后利用放缩法对结论进行证明；
（3）由（2）中数列{an}的通项公式，我们根据bn=an（）n，不难给出{bn}的通项公式，分析数列{bn}的单调性，不难给出|bn-bm|的取值范围，进而得到|bn-bm|＜．
【解析】
（Ⅰ）因为，
即
所以数列{}为等差数列
（Ⅱ）由（1）知：+（n-1）×（-1）=-n
所以an=1-
设f（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则f′（x）=1-＞0
∴f（x）在（0，+∞）为递增函数，且f（x）在[0，+∞]上连续．
∴f（x）＞f（0）=0，∴当x＞0时，x＞ln（x+1）成立．
所以ln（1+）＜，1-＜1-ln（1+）
所以an=1-＜1-ln（n+1）+lnn
所以Sn＜（1-ln2+ln1）+（1-ln3+ln2）++[1-ln（n+1）+lnn]
即Sn＜n-ln（n+1）
（Ⅲ）因为bn=×（）n，
当=××=×，
当=×＞1，n＞，即n≥4
当=×＜1，n＜，即n≤3．
所以b1＜b2＜b3＜b4＞b5＞b6＞
又因为n≥2时，bn＞0，并且b1=0，所以0≤bn≤b4
对任意的正整数n、m，均有|bn-bm|的最大值为
b4-b1=×（）4-0=＜=
所以对任意的正整数n、m，均有|bn-bm|＜