Question

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n．

Answer

（I）分q=1，q≠1两种情况，利用等比数列的求和公式，转化可得关于首项a1和公比q的方程，从而可得a1与q，可得答案，（II）由（I）代入可得bn=，由题意结合等比数列通项的结构可得，从而可求a1，进一步求出bn，由于（2n-1）•bn是等差数列与等比数列的积，适合用错位相减求和．
【解析】
（Ⅰ）若q=1，则5S2=10a1，4S4=16a1，∵a1≠0，
∴5S2≠4S4，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S2=4S4得，
∴，又q＞0，
∴．．（5分）
（Ⅱ），（7分）
由bn为等比数列知：，得，
∴．（9分）
则①
②
两式相减化简得Tn=3-（12分）