Question

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an
（2）代入等差数列的前n和公式可求sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c
（3）要证原不等式A＞B⇔A＞M，B＜M，分别利用二次函数及均值不等式可证．℃
【解析】
（1）an为等差数列，a3•a4=117，a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根，d＞0
∴a3=9，a4=13
∴
∴d=4，a1=1
∴an=1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知，
∵
∴，，，
∵bn是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，
∴（c=0舍去），
（3）由（2）得，
2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn-3bn-1=2（n2+n）-3（2n-2）=2（n-1）2+4＞4，

∴，
n=3时取等号（15分）
（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以．