Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3．

Answer

（Ⅰ） 由bn=+λ为等比数列，及an=an-1+n（n≥2，n∈N*）可求得λ及数列{bn}、{an}的通项公式；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）求得{an}的通项公式，利用分组求和和错位相减法求和，（Ⅲ）把数列{bn}的通项公式代入cn=中，放缩法证明都有Tn＜3．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2，n∈N*时，，
∴，即，故λ=1时
有bn=2bn-1，而
bn=2•2n-1=2n，从而an=n•2n-n
（Ⅱ）Sn=1•2+2•22+…+n•2n-（1+2+…+n）
记Rn=1•2+2•22+…+n•2n
则2Rn=1•22+2•23+…+n•2n+1
相减得：-Rn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=
∴Sn=（n-1）2n+1-
（Ⅲ）
=
n≥2时，

=2+1-＜3
而T1==2＜3
∵∀n∈N*，7n＜3．