Question

设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知S₇=63，a₄+a₅+a₆=33，
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2） 求数列b_n=2^an+n，求数列{b_n}的前n项和Tn；
（3） 求证：+++…+＜

Answer

（1）利用等差数列的性质若p+q=m+n，an+am=ap+aq，由S7=63，a4+a5+a6=33，可得a4，a5，进一步可求公差d的值，从而求出a
（2）由（1）中所求an可得bn=22n+1+n，分别用等差数列及等比数列的前n和公式，利用分组求和求Tn
（3）利用裂项求和
【解析】
（1）∵
∴a4=9，又a4+a5+a6=33，3a5=33，则a5=11
 公差d=2，an=2n+1；
（2）∵bn=2an+n=22n+1+n
∴Tn=b1+b2+…+bn=（23+1）+（25+2）+••+（22n+1+n）
=（23+25+…+22n+1）+（1+2+…+n）
=
 （3）由等差数列的前n项和公式可得，
∴
∴
=