Question

已知：f（x）=x²+px+q．
求证：（1）f（1）+f（3）-2f（2）=2；
（2）|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于．

Answer

（1）根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）-2f（2）；
（1）“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，用反证法．
证明：（1）∵f（x）=x2+px+q
∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q
所以f（1）+f（3）-2f（2）
=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）
=2；
（2）假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于，
则，
即有
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．