Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP⊥平面ABCD．
（1） 求证：AQ∥平面CEP；
（2） 求证：平面AEQ⊥平面DEP．

Answer

（1）欲证AQ∥平面CEP，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AQ与平面CEP内一直线平行，而CP∥AQ，CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，满足定理条件；
（2）欲证平面AEQ⊥平面DEP，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEQ内一直线与平面DEP垂直，而根据题意可得AQ⊥平面DEP．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，
∵AP=PB，DQ=QC，∴APCQ．
∴AQCP为平行四边形．∴CP∥AQ．
∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，
∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD．连PQ，ADQP为正方形．
∴AQ⊥DP．又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．
∵AQ⊂平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．