Question

已知．
（1）求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）在区间x∈（0，2]为增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，把x=0代入到导函数中求出切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）由f（x）在x∈（0，2]为增函数得到导函数在区间x∈（0，2]上恒大于等于0，即a+1＜在0＜x≤2上恒成立，可设g（x）=，求出其导函数=0时x的值，讨论导函数的正负得到g（x）的最小值，让a+1小于g（x）的最小值即可得到a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=ex-（1+a）x，把x=0代入得到切线的斜率k=f′（0）=1，
然后求出f（0）=1，
所以切线方程为：y-1=1×（x-0）即y=x+1；
（2）f′（x）=ex-（1+a）x≥0在区间x∈（0，2]上恒成立
即在0＜x≤2上恒成立．
令
当x=1时有最小值e
所以a＜e-1．