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如图,O是直角坐标原点,A、B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,...

如图,O是直角坐标原点,A、B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB并与AB相交于点M,求M点的轨迹方程.

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根据条件,设点M,A,B的坐标分别为(x,y),(2pt12,2pt1),(2pt22,2pt2),t1≠t2,且t1t2≠0,由题意知t1t2=-1.,由此可知M点的轨迹方程. 【解析】 根据条件,设点M,A,B的坐标分别为(x,y),(2pt12,2pt1),(2pt22,2pt2),t1≠t2,且t1t2≠0, 则,, , ∵,∴, 即(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0. ∴t1t2=-1. ∵,∴2px(t22-t12)+2py(t2-t1)=0, ∴, ∵,,且A,M,B共线, ∴(x-2pt12)(2pt2-y)=(y-2pt1)(2pt22-x), 化简得y(t1+t2)-2pt1t2-x=0, 由此可知M点的轨迹方程为x2+y2-2px=0,(x≠0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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