Question

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N^*，证明：

Answer

（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，转化为求函数的最小值问题．利用导数求解．
（2）函数导数综合题中，不等式的证明可考虑利用前面得到的函数的性质进行．
（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）
（1）【解析】
∵f（x）=ex-x，∴f'（x）=ex-1．令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．
∴函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，f（x）有最小值1
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有ex-x≥1，即1+x≤ex．
令（n∈N*，k=1，2，，n-1），则，
∴．
即．∵，
∴．
∵，
∴．