Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x的范围．代入判断因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
进而求得m的范围．点M在椭圆的长轴上进而推脱m的最大和最小值．综合可得m的范围．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为．
由题意
解得a2=16，b2=12．
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故-4≤x≤4．
因为，
所以=．
因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4m时，取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又点M在椭圆的长轴上，即-4≤m≤4．
故实数m的取值范围是m∈[1，4]．