Question

给出如下四个命题：
①对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；
②若α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；
③已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立；
④已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线．
则命题P的逆否命题是假命题上命题中，正确命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4

Answer

用线面位置关系的定义判断，结合线面垂直的定义和线线的位置关系判断，用反证法判断④推出矛盾．
【解析】
①对，当a⊂α或a∥α时，α内必有无数条直线与a垂直；
当a∩α=A时，若a⊥α时满足题意；
当a与α斜交时，a在α内的射影与α内的直线垂直，则a与该直线垂直，
α内必有无数条直线与a垂直；
②对，充分性成立，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又∵m⊥β，∴α∥β，
必要性不成立，α∥β，推不出l和m关系；
③对，c∥d时，满足条件；c与d相交时确定一个平面α，则a⊥α，b⊥α，故有a∥b；
当c与d异面时，可c过上一点作出e与d平行，则c、e确定平面β，a⊥β，b⊥β，有a∥b；
④对，用反证法证明，得出与条件矛盾；
故选D．