Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x）=0时x的值，然后讨论x的取值来决定导函数的正负判断函数的单调区间即可得到函数极值．
（Ⅱ）由恒成立则有，即函数的最小值大于等于函数的最大值证出即可．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）==0，解得x=e，
又x∈（0，+∞），
当x＞e时，f′（x）＜0，函数为减函数；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数．
所以f（x）的极大值为；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），
都有成立则有，
由（Ⅰ）知，f（x）的最大值为，
并且成立，当且仅当x=1时成立，
函数的最小值大于等于函数的最大值，
但等号不能同时成立．
所以，对一切x∈（0，+∞），都有成立．