Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-（k为常数）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证不等式在x∈（0，1）时恒成立．

Answer

（1）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，通过讨论x的范围与定义域的关系，求出递增区间和递减区间
（2）通过构造函数g（x），利用导函数研究g（x）的单调性，利用函数的单调性，求出函数的最小值，不等式得证．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（-1，+∞）（1分）
f'（x）=（2分）
令f'（x）＞0得：x＞k-1
当k-1≤-1即k≤0时，f（x）的单调递增区间是（-1，+∞）（3分）
当k-1＞-1即k＞0时，f（x）的单调递减区间是（-1，k-1），f（x）的单调递增区间是（k-1，+∞）（5分）
（2）当x∈（0，1）时，原不等式等价于ln（x+1）＞2．
令g（x）=ln（x+1）+（7分）
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是单调递增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式在区间（0，1）上恒成立．（12分）