Question

设a＞0，函数 f（x）=．
（Ⅰ）求函数 f（x） 的单调区间；
（Ⅱ）当 x=时，函数f（x） 取得极值，证明：对于任意的 x₁，x₂∈[，]；|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导数，讨论a的取值范围，判断函数的单调性
（Ⅱ）当x=时，函数f（x）取得极值，所以函数的导数在该点的值为零，判断函数的单调性，求函数的极值，求出函数的端点值，进而求出最值．再根据函数两最值之差最大，证明问题
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=（3分）
（1）当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，即（x-1）2+a-1＞0，
解得x＜1-，活x＞1+．
因此，函数f（x）在区间（-∞，1-）内单调递增，
在区间（1+，+∞）内也单调递增．
令f′（x）＜0，即（x-1）2+a-1＜0，解得1-＜x＜1+．
因此，函数f（x）在区间（1-，1+）内单调递减．（8分）
（Ⅱ）当x=时，函数f（x）取得极值，
即f′（）=0，∴（）2+a-2×=0，∴a=
由（Ⅰ）f（x）在（-∞，）单调递增，
在（1，）单调递减，（，+∞）单调递增．
f（x）在x=时取得极大值f（）=；
f（x）在x=时取得极小值f（）=，
故在[，]上，f（x）的最大值是f（）=，
最小值是f（）；
对于任意的x1，x2∈[，]，|f（x1）-f（x2）|≤（14分）