Question

设f（x）=x²+ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于．

Answer

因“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，用反证法．先根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）-2f（2）．再假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于 ，推出-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2，利用此式与上面求得的式子矛盾，从而得出证明．
证明：∵f（x）=x2+px+q
∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q
所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）=2．
假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于 ，
则 ，
即有
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由贞面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．