Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BC₁D．

Answer

要证明A1C⊥平面BC1D，只需证明直线A1C垂直于平面BC1D内的两条相交直线即可，故只需证明A1C⊥BD，A1C⊥BC1即可．
证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA1⊥平面ABCD，
所以，AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA1又A1C⊂平面CAA1
所以A1C⊥BD，连接B1C交BC1于一点O，
同理可证A1C⊥BC1，又 BC1交BD于一点B，
所以A1C⊥平面BC1D