Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；
（2）若E、F分别是AA₁，CC₁的中点，求证：平面EB₁D₁∥平面FBD．

Answer

（1）有B1B∥DD1⇒B1D1∥BD平⇒面A1BD∥平面B1CD．
（2）由AE∥B1G⇒B1E∥AG，再由AG∥DF⇒B1E∥DF，B1E∥DF⇒DF∥平面EB1D1．
证明：（1）由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BDË平面B1D1C，B1D1∥平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD=D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．
∴AG∥DF．
∴B1E∥DF．
∴DF∥平面EB1D1．
∴平面EB1D1∥平面FBD．