Question

如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；
（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

Answer

（1）M、N、P、Q是相应边的中点，由中位线定理易得MN∥AC，MN=AC．PQ∥CA，PQ=CA，从而知MNPQ是平行四边形，对角线互相平分；
（2）由（1）知AC∥MN．由线面平行的判定定理易证AC∥平面MNP，同理BD∥NP，由线面平行的判定定理易证BD∥平面MNP．
【解析】
证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN=AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ=CA．
∴MN∥QP，MN=QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

（2）由（1），AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然AC⊄α．
否则，若AC⊂α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又ACËα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
又∵BD∥NP，BD⊄平面MNP，NP⊂平面MNP
∴BD∥平面MNP．