Question

如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．

Answer

首先设SC=a，SA=b，再由已知条件及余弦定理表示出AB、AC、BC，进而通过AB、AC、BC间的等量关系证得AB⊥AC的结论，进一步证得AB⊥平面SAC，最后证得AB⊥SC．
证明：设SC=a，SA=b，则AB=b，SB=b．
又AC2=a2+b2-2abcos45°=a2+b2-ab
BC2=a2+-2bacos60°=a2+2b2-ab．
∴AB2+AC2=b2+a2+b2-ab=a2+2b2-ab=BC2
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又AB⊥SA，且AC∩SA=A，
∴AB⊥平面SAC，
又SC⊂平面SAC，
∴AB⊥SC．