Question

设函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（2）=3，则f（2006）+f（2007）=    ．

Answer

本题求的是一个抽象函数的函数值，我们要根据已知条件，凑出函数的某些特殊函数值，观察到函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），易想到f（-3）与f（3）可能是解决问题的突破口．
【解析】
由f（x+6）=f（x）+f（3）
令x=-3，则有f（-3+6）=f（-3）+f（3）
即f（3）=f（-3）+f（3）
所以f（-3）=0
由已知f（x）是R上的偶函数
所以f（3）=f（-3）=0
所以f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）
所以T=6
f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=3
故答案为：3