已知函数f（x）= （1）当时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=[f（x...

已知函数f（x）=

（1）当

时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）由f'（x）≥0，f（x）单调递增，f'（x）＜0，f（x）单调递减求得f（x）max=f（x2）（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x2=ax-x3不妨设任意不同两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），其中x1＜x2 则由斜率公式得由k≤1知：建立a＜1+（x12+x1x2+x22）恒成立，从而求解．【解析】（1）当-2≤a＜时，由f'（x）=0得x1=．（2分）显然-1≤x1＜，＜x2≤2，∴．又f'（x）=- 当≤x≤x2时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；当x2＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分） ∴f（x）max=f（x2）= =-．（6分）（2）存在符合条件因为g（x）=[f（x）-lnx]•x2=ax-x3 不妨设任意不同两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），其中x1＜x2 则（10分）由k≤1知：a≤1+（x12+x1x2+x22）又故故存在符合条件．（12分）

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考点分析：

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