Question

已知数列{a_n}的前n项的平均数的倒数为，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（3）设函数，是否存在最大的实数λ，当x≤λ时，对于一切自然数n，都有f（x）≤0．

Answer

（1）根据数列{an}的前n项的平均数的倒数为，表示出数列的前n项和公式，问题就变化为由sn求an的问题，这种问题要仿写一个sn-1，两个式子相减，得到要求的通项．注意首相是否符合通项．
（2）根据所给的新数列写出数列的表达式，即cn的表达式，把式子进行整理，分子常数化，仿写cn-1，写出要判断符号的式子，两式相减得到分子相同的两个分式的差的形式，容易判断符号．
（3）本题是一个恒成立问题，根据上一问得到的关于cn的单调性，对于一切自然数n，都有不等式成立，用c1代入，解关于变量的一元二次不等式，得到结果．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项的平均数的倒数为，
∴a1+a2+…+an-1+an=n（2n+1），a1+a2+…+an-1=（n-1）（2n-1）
两式相减得an=4n-1（n≥2），
∵a1=3，
∴an=4n-1（n∈N）
（2）∵，
∴．
（3）由（2）知c1=1是数列{cn}中的最小项，
∵x≤λ时，对于一切自然数n，都有，
∴-x2+4x≤c1=1，即x2-4x+1≥0，
∴．