Question

设a是实数，．
（1）当f（x）为奇函数时，求a的值；
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．

Answer

（1）根据奇函数在零处有意义可得f（0）=0，建立等量关系，求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，解得a=1；
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）
=
=
=，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，
且x1＜x2，所以即，
又由2x＞0，得，，
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．