Question

已知圆C：x²+y²+ax-4y+1=0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设E为圆C上异于A、B的一点，求△ABE面积的最大值；
（Ⅲ）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有|MN|=|MP|，求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值时点M的坐标．

Answer

（Ⅰ）由圆心与弦的中点的连线和弦垂直得 CP⊥AB，根据斜率之积等于-1求出a的值．
（Ⅱ）先求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线AB的距离以及弦长AB，当EC⊥AB时，△ABE面积最大．
（Ⅲ）由|MN|2=|MC|2-4，得到|MP|2=|MC|2-4，设M（x，y），代入此等式化简得x-y=0，
|MN|的最小值即为|MP|的最小值（P到x-y=0的距离）：，解，
得M点坐标．
【解析】
（Ⅰ）由题知圆心C（），又P（0，1）为线段AB的中点，∴CP⊥AB，
∴kPC=-1，即=-1，∴a=2（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆C的方程为（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心C（-1，2），半径R=2，
又直线AB的方程是x-y+1=0
∴圆心C到AB的距离，
当EC⊥AB时，△ABE面积最大，．（8分）
（Ⅲ）∵切线MN⊥CN，∴|MN|2=|MC|2-4，又|MN|=|MP|，∴|MP|2=|MC|2-4，
设M（x，y），则有x2+（y-1）2=（x+1）2+（y-2）2-4，化简得：x-y=0，
即点M在x-y=0上，∴|MN|的最小值即为|MP|的最小值（P到x-y=0的距离）：，
解方程组：，得：，
∴满足条件的M点坐标为（12分）