Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小．

Answer

法一（Ⅰ）要证：PC⊥AB，构造过PC的平面PCD，使得AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）取AP中点E．连接BE，CE；说明∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，再求二面角B-AP-C的大小．

法二（Ⅰ）证明PC⊥平面ABC．即可．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，通过数量积求其二面角B-AP-C的大小的余弦值，再求二面角的大小．
【解析】
法一：
（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC⊂平面PCD，
∴PC⊥AB．

（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．

∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=，
∴sin∠BEC=．
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin．

解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB⊂平面ABC，
∴PC⊥AB．

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2，
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），=（0，-1，-1），=（2，-1，-1），
∴cos∠BEC=．
∴二面角B-AP-C的大小为arccos．