Question

直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N．
求证：①BC⊥平面PAC；
②PB⊥平面AMN．

Answer

①由已知中直角三角形ABC中∠C=90°，PA⊥平面ABC，我们易得到AC⊥BC，PA⊥BC，由线面垂直的判定定理，即可得到BC⊥平面PAC；
②由①的结论，结合线面垂直的性质，可得BC⊥AN，由AM⊥PB于M，AN⊥PC于N，我们由线面垂直的判定定理，即可得到PB⊥平面AMN．
证明：①∵直角三角形ABC中∠C=90°，
∴AC⊥BC
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC
又由PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC；
②由①中结论得：BC⊥AN
又∵AN⊥PC于N．BC∩PC=C
∴AN⊥平面PBC，又由PB⊂平面PBC，
∴AN⊥PB，又由AM⊥PB于M，AN∩AM=A
∴PB⊥平面AMN