Question

已知椭圆C：的左右焦点分别为F₁，F₂．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁，F₂的距离之和为4，求椭圆C的方程和焦点的坐标；
（2）若M，N是C上关于（0，0）对称的两点，P是C上任意一点，直线PM，PN的斜率都存在，记为k_PM，k_PN，求证：k_PM与k_PN之积为定值．

Answer

（1）先根据点A到F1、F2两点的距离之和求得a，进而把A点代入椭圆方程求得b，则c可得，进而可求得椭圆的方程和焦点坐标．
（2）设点M的坐标为（m，n），根据点的对称性可求得N的坐标，代入椭圆方程设出点P的坐标，则利用斜率公式可分别表示出PM和PN的斜率，求得二者乘积的表达式，把y2=3-x2，n2=3-m2代入结果为常数，原式得证．
【解析】
（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．又点A（1，））在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1．所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
（2）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中=1．
又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=
得kPM•kPN=•=将y2=3-x2，n2=3-m2代入得kPM•kPN=
故kPM与kPN之积为定值．