Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离．

Answer

（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连接PE，易得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，在Rt△PAE中求出此角的正切值；
（2）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H，可证得AH的长即为点A到平面PBC的距离，在等腰直角三角形PAB中解出AH即可．
【解析】
（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连接PE，
∵PA⊥平面ABCD，易证PE⊥CD，
∵∠PEA是二面角P-CD-A的平面角，
在Rt△AED中，AD=3a，∠ADE=arcsin，
∴AE=AD•sin∠ADE=，
在Rt△PAE中，，
∴二面角P-CD-A的正切值为；

（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB，
∴AH⊥平面PBC，
故AH的长即为点A到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，，
所以点A到平面PBC的距离为．