Question

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知中，Q为AD的中点，△PAD为正三角形，易得PQ⊥AD，又由ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，由面面垂直的性质，可得PQ即为P到平面ABCD的距离，解三角形PAD即可得到答案．
（2）连AC交BD于O，连MO，由三角形的中位线定理，可得PA∥OM，结合线面平行的判定定理，即可得到PA∥平面MBD；
（3）令N为AB中点，结合（1）中结论易得PQ⊥CN，又由正方形ABCD中Q，N分别为AD，AB中点，则CN⊥BQ，结合线面垂直的判定定理，可得CN⊥平面PQB，再由面面平行的判定定理，即可得到结论．
【解析】
（1）正△PAD中，θ为AD的中点
故PQ⊥AD
由．（3分）
∵Q∈平面ABCDPQ长为P到平面ABCD的距离．
因为AD=4，
所以
所以，P平行ABCD的距离为（5分）
（2）证明：连AC交BD于O，连MO
则ABCD为正方形，
所以O为AC中点，M为PC中点，
所以MO∥AP，（7分）
又AP⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，
则AP∥平面MBD．（10分）
（3）N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB．（11分）
证明如下：由（1）证明知PQ⊥平面ABCD，又CN⊂平面ABCD，则PQ⊥CN（12分）
又因为正方形ABCD中Q，N分别为AD，AB中点，则CN⊥BQ（13分）
∴CN⊥平面PQB（14分）
又∵CN⊂平面PCN
所以，平面PCN⊥平面PQB．（15分）