Question

已知AB=2a，在以AB为直径的半圆上有一点C，设AB中点为O，∠AOC=60°．
（1）在上取一点P，若∠BOP=2θ，把PA+PB+PC表示成θ的函数；
（2）设f（θ）=PA+PB+PC，当θ为何值时f（θ）有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）在三角形中使用余弦定理求出PA、PB、PC的长度，使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简．
（2）利用两角和差的三角公式进一步化简f（θ）的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式，利用正弦函数的最值，
求出f（θ）的最大值，并求出此时θ的值．
【解析】
（1）由题意知，AB为直径的半圆的半径为a，0°＜2θ＜120°，∴0°≤θ≤60°，
△PAO中，由余弦定理得 PA==2acosθ，
同理可求得 PB==2asinθ，
PC==2asin（60°-θ），
∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin（60°-θ）=2asinθ+2acosθ+2a（cosθ-sinθ）
=asinθ+（2+）acosθ．
（2）f（θ）=PA+PB+PC=asinθ+（2+）acosθ=2a （sinθ+cosθ）
令cosα=，sinα=，则 f（θ）=2asin（θ+α），
取锐角α，则α=arcsin＞45°，故 当θ=90°-arcsin时，sin（θ+α）=1取得最大值，
此时，f（θ）取最大值  2a．