Question

设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

Answer

要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）；先设AF的延长线交⊙BDF于K，通过证得两个三角形相似：△AEF～△AKB，得到一个比例式．又注意到∠KBD=∠KFD=∠C，利用两个三角形△ABD和△ADK的面积公式，最后只须证明S△ABD=S△DCK+S△ADK也就是要证S△ABC=S△AKC⇔BK∥AC（4），事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，从而问题解决．
证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此．
于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我们有
进一步有
因此要证（2），只需证明S△ABD=S△DCK+S△ADK（3）
而（3）⇔S△ABC=S△AKC⇔BK∥AC（4）
事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．