Question

求满足，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组（x，y，z，u）的个数．

Answer

先设．记A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，显然card（A）+card（B）+card（C）=104．下面证明：我们证明card（A）=card（B）．接着计算card（C）．而计算出满 足 x=z，y=u，x≠z的四元组共90个，进而可得答案．
【解析】
设f（a，b，c，d）=．
记A：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＞0}，B：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）＜0}，C：{（x，y，z，u）|1≤x，y，z，u≤10，f（x，y，z，u）=0}，
显然card（A）+card（B）+card（C）=104．
我们证明card（A）=card（B）．对每一个（x，y，z，u）∈A，考虑（x，u，z，y）．（x，y，z，u）∈A⇔f（x，y，z，u）＞0⇔＞0
⇔＜0⇔f（x，y，z，u）＜0⇔（x，u，z，y）∈B
接着计算card（C）．（x，y，z，u）∈C⇔⇔（z-x）（u-y）（xz-yu）=0
设C1={（x，y，z，u）|x=z，1≤x，y，z，u≤10}，C2={（x，y，z，u）|x≠z，y=u，1≤x，y，z，u≤10}，C3={（x，y，z，u）|x≠z，y≠u，xz=yu，1≤x，y，z，u≤10}．∵满足a×b=c×d，（a，b，c，d）为1、2、3、、10的两两不同的无序四元组只有1×6=2×3，1×8=2×4，1×10=2×5，2×6=3×4，2×9=3×6，2×10=4×5，3×8=4×6，3×10=5×6，4×10=5×8．
满足x=y，z=u，x≠z的四元组共90个，满 足 x=z，y=u，x≠z的四元组共90个，card（C3）=4×2×9+90+90=252，card（C1）=1000，card（C2）=900．
所以，card（C）=2152，card（A）=3924．