Question

正项数列{a_n}满足a₁=2，点A_n（）在双曲线y²-x²=1上，点（b_n，T_n）在直线y=-x+1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
①求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
②设C_n=a_nb_n，证明C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整数m的最小值．

Answer

①由题意知an=n+1，Tn=-bn+1，Tn-1=-bn-1+1，所以，由此可知．
②由题意知，由此可知=＜0，所以cn+1＜cn．
③由{cn}递减而m＞7cn恒成立，知m＞7c1=而m∈N*，由此可知m的最小值为10．
【解析】
①由已知点An在y2-x2=1上知，an+1-an=1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．
∴an=n+1
∵点（bn，Tn）在直线y=-x+1上
∴Tn=-bn+1①
∴Tn-1=-bn-1+1②
①②两式相减得bn=-bn+bn-1
∴
令n=1得
∴，．
∴
②
∴
=
=
=＜0，
∴cn+1＜cn
③∵{cn}递减而m＞7cn恒成立
∴m＞7c1=而m∈N*
∴m的最小值为10．