Question

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量，，是否存在实数λ，对任意恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），令x=y=0可得f（0）．
（2）已知f（x）为单调函数，由（1）知f（0）=0，再由已知等式求出f（1）=2，判断出f（x）为增函数，求出•代入不等式，利用单调性去掉f，得到关于sinθ的一元二次方程，令t=sinθ换元，得到关于t的二次方程，由θ范围，求出sinθ范围，也就是t的范围，问题就转化为在定区间上二次函数的最值，因为对称轴不确定，要求最小值，分三种情况讨论，得到三个范围，取并就是λ的取值范围．
【解析】
（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），
∵f（x）≠0，∴f（0）=1．
（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，
∴f（x）是增函数，
∵•=λsinθ+cos2θ，f（•）-f（3）≤0
∴f（λsinθ+cos2θ）≤f（3）
又∵f（x）是增函数，
∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos2θ≤3恒成立，
即sin2θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）
令t=sinθ，得t2-λt+2≥0
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，
令h（t）=t2-λt+2=+2-（-1≤t≤1），
①当＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；
②当-1≤≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（）≥0，则（*）恒成立，
∵h（）=2-≥0，∴-2≤λ≤2，
∴-2≤λ≤2；
③当＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．