Question

如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是PA和AB的中点，试过点M，N作平行于AC的平面α，要求：
（1）画出平面α分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；
（2）试对你的画法给出证明．

Answer

（1）根据题意和线面平行的判定，需要过N点作NE∥AC、过M点作MF∥AC，连接EF，则由图形和公理3得到与各个平面的交线；
（2）根据做法证出线线平行证出两直线共面，再由公理3证出α与其它平面的交线，根据线面平行的判定定理证出线面平行．
解 （1）过N点作NE∥AC交BC于E，
过M点作MF∥AC交PC于F，连接EF，
则平面MNEF为平行于AC的平面α，
则NE，EF，MF分别是平面α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
（2）证明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直线NE与MF共面，
∵点N和E，点E和F，点M和F分别是α与平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共点，
∴NE，EF，MF分别是平面MNEF与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线．
∵NE∥AC，NE⊂平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF为所求的平面．