Question

已知：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CC₁的中点，F是AC，BD的交点．
求证：A₁F⊥平面BED．

Answer

欲证A1F⊥平面BED，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1F⊥平面BED内两相交直线垂直，取BC中点G，连接FG，B1G，A1F⊥BD，A1F⊥BE，EB∩BD=B，满足定理条件．
证明：AA1⊥平面ABCD，AF是A1F在面ABCD上的射影
又∵AC⊥BD，∴A1F⊥BD
取BC中点G，连接FG，B1G，
∵A1B1⊥平面BCC1B1，FG⊥平面BCC1B1，
∴B1G为A1F在面BCC1B1上的射影，
又∵正方形BCC1B1中，E，G分别为CC1，BC的中点，∴BE⊥B1G，
∴A1F⊥BE又∵EB∩BD=B，
∴A1F⊥平面BED．