Question

a、b、c、m∈R⁺，a^m=b^m+c^m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．

Answer

根据题意，由am=bm+cm变形可得（）m+（）m=1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设（）m=sin2θ；（）m=cos2θ，（0°＜θ＜90°），又由题意，可得b+c＞a，将b、c与a的关系代入可得，a•+a•＞a；进而整理变形可得，+＞1=sin2θ+cos2θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．
【解析】
根据题意，由am=bm+cm，可得（）m+（）m=1，且a＞b，a＞c；
设（）m=sin2θ；（）m=cos2θ，（0°＜θ＜90°）
化简可得：b=a•，c=a•；
若长为a、b、c三线段能构成三角形，则b+c＞a，
即a•+a•＞a；
整理可得，+＞1=sin2θ+cos2θ，
由幂函数的性质分析可得，
当且仅当m＞1时，＞sin2θ与＞cos2θ同时成立，
即b+c＞a，
故m的取值范围为m＞1．