Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）
（2）已知条件可以转化为a≥lnx-x-恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）（4分）
令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（6分）
（2）g′（x）=3x2+2ax-1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-x-恒成立 ①（9分）
设h（x）=lnx--，则h′（x）=-=-
令h′（x）=0得：x=1，x=-（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，则a≥-2，
即a的取值范围是[-2，+∞）．（13分）