Question

已知圆C满足：
（1）截y轴所得弦MN长为4；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧 长之比为3：1，且圆心在直线y=x上，求圆C的方程．（为方便学生解答，做了一种情形的辅助图形）

Answer

设出圆的方程，圆心为（a，b），半径为r，根据垂径定理及勾股定理得到r2=4+a2，根据圆C被x轴分成的两点圆弧，弧长之比为3：1，得到角ACB等于90°，得到圆的半径r等于|b|，又根据圆心在直线y=x上，把圆心坐标代入y=x中得到a=b，
把得到的三个等式联立即可求出a，b及r的值，进而得到圆C的圆心坐标及半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解析】
设圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心是（a，b），半径是r，
∵圆截y轴所得弦长为4，
∴r2=4+a2．
∵被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，
∴r=．
∵圆心（a，b）在直线y=x上，
∴b=a．
∴，
解得：a=b=2，r=或者a=b=-2，r=，
所以圆的方程：（x-2）2+（y-2）2=8或者（x+2）2+（y+2）2=8．