Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；
（3）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）由“函数f（x）是奇函数”求或找到a，b，c的关系，再结合f（1）=2，f（2）=10求解．
（2）要求用定义，则先在给定的区间任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）利用奇函数将“不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0，在x∈（0，1）上恒成立”转化为“f（x2-4）＜f（-kx-2k）
在x∈（0，1）上恒成立”再由增函数的定义转化为“x2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立”求解．
【解析】
（1）∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
∵
∴函数的解析式是f（x）=x3+x    5分
（2）证明：设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2，
则△y=f（x2）-f（x1）=x23+x2-x13-x1=（x2-x1）（x22+x1x2+x12）+（x2-x1）
=
∵x2-x1＞0，∴△y＞0
∴函数f（x）在R上是增函数 （10分）
（3）∵f（x2-4）+f（kx+2k）＜0
∴f（x2-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
又因为f（x）是增函数，即x2-4＜-kx-2k
∴x2+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
法（一）令g（x）=x2+kx+2k-4，x∈（0，1）
则
∴k的取值范围是（-∞，1]14分
法（二）上式可化为k（x+2）＜4-x2
∵x∈（0，1）即x+2＞0∴
令U（x）=2-x，x∈（0，1）
∵U（x）=2-x在（0，1）上是减函数
∴U（x）＜1即k≤1．（14分）