Question

数列a_n的首项为a（a＞0），它的前n项的和是S_n．
（1）若数列a_n是等差数列，公差为d，d≠0，且数列也是等差数列，①求d；②求证：∑_i=1ⁿ＜．
（2）数列S_n是公比为q的等比数列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n对任意正整数n都成立，求k的值或k的取值范围．

Answer

（1）①则由是等差数列知，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）2，由此能求出d．
②由，能导出．
（2）依题意S1=a1=a，当n＞1时，an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2（q-1），所以：an={，由此进行曲分类讨论知q＜0时，；0＜q＜1时，；q＞1时，k≤1．
【解析】
（1）①则由是等差数列知：，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）2，
又d≠0，所以d=a，（3分）
当d=a时，an=na，，，是等差数列，（4分）
②，（6分）
所以，（8分）
（2）依题意S1=a1=a，
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=aqn-2（q-1），
所以：an={（10分）
当n=1时，S1≥ka1，由a＞0知，k≤1；（11分）
当n≥2时，Sn≥kan，即aqn-1≥kaqn-2（q-1），
①若q＞1，则，因为，所以此时k≤1；
②若0＜q＜1，则，因为，所以此时；
③若q＜0，n为奇数时，qn-2＜0，同时q-1＜0，
不等式Sn≥kan的解是，n为偶数时，qn-2＞0，同时q-1＜0，不等式Sn≥kan的解是，
要使Sn≥kan对任意大于1的正整数恒成立，只有又适合要求，
综上可得：q＜0时，；0＜q＜1时，；q＞1时，k≤1．（16分）