Question

已知x=1是函数f（x）=x³-nx²+3（m+1）x+n+1（m、n∈R，m≠0）的一个极值点．
（1）求m与n的关系表达式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）因为x=1是原方程的一个极值点有f′（1）=0得到m与n的关系表达式；
（2）令f′（1）=0得到函数驻点x=1或x=m+1，利用驻点分区间当m+1＜1即m＜0时和当m+1＞1即m＞0时讨论函数的增减性即可得到单调递增区间．
【解析】
（1）∵f′（x）=3x2-2nx+3（m+1）
∴由x=1是原方程的一个极值点有f′（1）=0
∴3-2n+3m+3=0
（2）由（1）有f′（x）=3x2-（3m+6）x+3（m+1）
=3[x2-（m+2）x+（m+1）]
=3（x-1）[x-（m+1）]
由f′（x）=0有x=1或x=m+1
当m+1＜1即m＜0时，由下表
∴原函数的单调递增区间为（-∞，m+1），（1，+∞）
当m+1＞1即m＞0时，下表有

∴原函数的单调递增区间为（-∞，1），（m+1，+∞）
∴综上所述，当m＜0时，原函数的单调递增区间为（-∞，m+1），（1，+∞），
当m＞0时，原函数的单调递增区间为（-∞，1），（m+1，+∞）