Question

已知关于坐标轴对称的椭圆经过两点A（0，2）和B；
（1）求椭圆的标准方程
（2）若点P是椭圆上的一点，F₁和F₂是焦点，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面积、

Answer

（1）设经过A（0，2），B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1，代入A、B得，由此能求出椭圆方程．
（2）在椭圆中，a=2，b=1，c==，由点P在椭圆上，知|PF1|+|PF2|=2a=4．由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=1，由此得（2+）|PF1|•|PF2|=4，从而得到=|PF1|•|PF2|sin30°=2-．
【解析】
（1）设经过两点A（0，2），B的椭圆标准方程为
mx2+ny2=1，代入A、B得⇒，
∴所求椭圆方程为、（5分）
（2）在椭圆中，a=2，b=1、∴c==
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=12 ②（8分）
把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=16，③
③-②得（2+）|PF1|•|PF2|=4，
∴|PF1|•|PF2|=4（2-），（10分）
∴=|PF1|•|PF2|sin30°=2-、（12分）