Question

已知函数，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是．

Answer

（I）要使g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，只要它的最小值f（-1）≥0，即-1-1+c≥0，解得c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+≤1，求得c的范围．
（2）g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 ，等价于
 ，从而证得结论．
【解析】
（I）当a=1时，，g'（x）=-x2+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x2+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），则，此抛物线关于x=对称，
 由可得，0＜≤1．对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+≤1，
即 ．
（2）关于x的实系数方程g′（x）=0 即-a2x2+ax+c=0，即  =0，
∴g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是 ，即
，等价于 ，等价于   ．