Question

已知函数f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在[1，2]上的最大值

Answer

（I）对函数f（x）=x2e-ax，进行求导，解出函数的极值点，然后根据极值点的值判断函数的单调区间；
（II）因区间[1，2]比较大，里面不是单调的增或者间，需要讨论，然后代入求解．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=2xe-ax+x2（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）（2分）
令f'（x）＞0，∵e-ax＞0（3分）
∴-ax2+2x＞0，解得．（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和内是减函数，在内是增函数．（6分）
（Ⅱ）①当，即a＞2时，f（x）在（1，2）内是减函数．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（1）=e-a；（8分）
②当，即1≤a≤2时，f（x）在内是增函数，在内是减函数．
∴在[1，2]上；（10分）
③当，即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）是增函数．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（2）=4e-2a．（12分）
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上的最大值为4e-2a；
当1≤a≤2时，f（x）在[1，2]上的最大值为4a-2e-2；
当a＞2时，f（x）在[1，2]上的最大值为e-a．（13分）