已知函数f（x）=log2（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时...

已知函数f（x）=log₂（x+1），当点（x，y）是y=f（x）的图象上的点时，点 manfen5.com 满分网

是y=g（x）的图象上的点．
（I）写出y=g（x）的表达式；
（II）当g（x）-f（x）≥0时，求x的取值范围；
（Ⅲ）当x在（Ⅱ）所给范围取值时，求g（x）-f（x）的最大值．

（I）令，由题设条件知，再由（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，可知．（II）由题意知．由对数函数的性质可得，解得0≤x≤1．（Ⅲ）由题疫条件知．由此可知g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为．【解析】（I）令，则x=3m，y=2n，由点（x，y）在y=log2（x+1）的图象上可得2n=log2（3m+1），故，又（m，n）是函数y=g（x）的图象上的点，故．（II）因为g（x）-f（x）≥0，所以．由对数函数的性质可得，解得0≤x≤1．（Ⅲ）因为0≤x≤1，所以．当且仅当3x+1=2时，即时等号成立，故g（x）-f（x）在[0，1]上的最大值为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等